Number system concept

## संख्या पद्धति (Number System) — Basic से Advanced Concept Number System में **संख्याओं के प्रकार, उनके गुण, divisibility, factors, multiples, remainder और संख्याओं पर होने वाली क्रियाओं** का अध्ययन किया जाता है। CG Vyapam/CGPSC जैसी परीक्षाओं में इससे सीधे और concept-based दोनों प्रकार के प्रश्न आते हैं। ### 1. संख्याओं के प्रमुख प्रकार | प्रकार | अर्थ | उदाहरण | | ------------------------ | ---------------------------- | ---------------- | | **प्राकृतिक संख्या (N)** | गिनती की संख्याएँ | 1, 2, 3, 4,... | | **पूर्ण संख्या (W)** | प्राकृतिक संख्या + 0 | 0, 1, 2, 3,... | | **पूर्णांक (Z)** | धनात्मक, ऋणात्मक और 0 | -3,-2,-1,0,1,2,3 | | **परिमेय संख्या (Q)** | p/q के रूप में, q ≠ 0 | 2/3, -5/7, 4 | | **अपरिमेय संख्या** | p/q के रूप में नहीं लिख सकते | √2, √3, π | | **वास्तविक संख्या (R)** | परिमेय + अपरिमेय | √2, 3, 5/7 | **याद रखें:** N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R --- ## 2. धनात्मक और ऋणात्मक संख्या **धनात्मक:** 1, 2, 3, 10... **ऋणात्मक:** -1, -2, -3, -10... 0 **न तो धनात्मक है, न ऋणात्मक।** --- ## 3. सम और विषम संख्या ### सम संख्या (Even) जो संख्या 2 से पूर्णतः विभाजित हो जाए। **उदाहरण:** 2, 4, 6, 8, 10, 12... अंतिम अंक: **0, 2, 4, 6, 8** ### विषम संख्या (Odd) जो 2 से पूर्णतः विभाजित न हो। **उदाहरण:** 1, 3, 5, 7, 9, 11... अंतिम अंक: **1, 3, 5, 7, 9** ### महत्वपूर्ण गुण * सम + सम = सम * विषम + विषम = सम * सम + विषम = विषम * विषम × विषम = विषम * सम × कोई भी पूर्णांक = सम --- ## 4. अभाज्य और भाज्य संख्या ### अभाज्य संख्या (Prime Number) जिसके केवल **दो गुणनखंड** हों—1 और स्वयं संख्या। उदाहरण: **2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...** 👉 **2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।** ### भाज्य संख्या (Composite Number) जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों। उदाहरण: 4 → 1, 2, 4 6 → 1, 2, 3, 6 12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12 👉 **1 न अभाज्य है, न भाज्य।** --- # 5. सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime) दो संख्याओं का **HCF = 1** हो तो वे सह-अभाज्य कहलाती हैं। उदाहरण: 8 और 15 HCF(8,15) = 1 अतः 8 और 15 **सह-अभाज्य** हैं। ध्यान दें: सह-अभाज्य होने के लिए दोनों संख्याओं का स्वयं prime होना जरूरी नहीं है। --- # 6. गुणनखंड (Factor) जो संख्या किसी संख्या को **पूरी तरह विभाजित** करे, वह उसका गुणनखंड है। उदाहरण: 12 के factors: **1, 2, 3, 4, 6, 12** क्योंकि 12 इन सभी से पूर्णतः विभाजित होता है। --- # 7. गुणज (Multiple) किसी संख्या को 1, 2, 3, 4... से गुणा करने पर प्राप्त संख्याएँ उसके गुणज कहलाती हैं। 5 के multiples: **5, 10, 15, 20, 25, 30...** ### अंतर याद रखें **Factor → संख्या को काटता/विभाजित करता है।** **Multiple → संख्या से बनता है।** --- # 8. विभाज्यता के नियम ### 2 से विभाज्यता अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, 8 हो। **348 → 2 से विभाज्य** ### 3 से विभाज्यता अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। **123 → 1+2+3 = 6** अतः 123, 3 से विभाज्य है। ### 4 से विभाज्यता अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हों। **312 → 12 ÷ 4 = 3** अतः 312, 4 से विभाज्य है। ### 5 से विभाज्यता अंतिम अंक **0 या 5** हो। ### 6 से विभाज्यता संख्या **2 और 3 दोनों से विभाज्य** हो। उदाहरण: 126 2 से भी विभाज्य और 1+2+6=9, 3 से भी विभाज्य। ### 8 से विभाज्यता अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हों। ### 9 से विभाज्यता अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। ### 10 से विभाज्यता अंतिम अंक 0 हो। ### 11 से विभाज्यता विषम और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो। उदाहरण: **121** (1+1) − 2 = 0 अतः 121, 11 से विभाज्य है। --- # 9. HCF और LCM ### HCF दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा समान गुणनखंड। उदाहरण: 12 और 18 12 के factors → 1,2,3,4,6,12 18 के factors → 1,2,3,6,9,18 **HCF = 6** ### LCM दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा समान गुणज। 12 के multiples → 12,24,36... 18 के multiples → 18,36... **LCM = 36** ### दो संख्याओं के लिए महत्वपूर्ण सूत्र **HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल** यदि संख्या 12 और 18 हैं: 6 × 36 = 12 × 18 216 = 216 ✅ --- # 10. शेषफल (Remainder) यदि **17 ÷ 5** तो 17 = 5 × 3 + 2 यहाँ: * भाज्य = 17 * भाजक = 5 * भागफल = 3 * **शेषफल = 2** ### मूल सूत्र **भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल** और हमेशा: **शेषफल < भाजक** --- # 11. दशमलव संख्या ### समाप्त दशमलव जैसे: 0.5, 0.25, 1.75 ### असमाप्त आवर्ती दशमलव जैसे: 0.3333... इसे लिखा जाता है: **0.\overline{3}** ### असमाप्त अनावर्ती दशमलव जैसे: √2 = 1.414213... --- # 12. परिमेय संख्या की महत्वपूर्ण पहचान यदि किसी भिन्न **p/q** को सरलतम रूप में लिखने के बाद q के अभाज्य गुणनखंड केवल **2 और/या 5** हों, तो उसका दशमलव **समाप्त** होगा। उदाहरण: 1/8 8 = 2³ अतः समाप्त दशमलव। लेकिन: 1/3 = 0.333... यह आवर्ती दशमलव है। --- # 13. वर्ग और वर्गमूल कुछ महत्वपूर्ण पूर्ण वर्ग: **1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...** याद रखें: √144 = **12** क्योंकि: 12 × 12 = 144 ### महत्वपूर्ण तथ्य किसी पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक कभी भी: **2, 3, 7 या 8 नहीं हो सकता।** --- # 14. घन और घनमूल कुछ महत्वपूर्ण पूर्ण घन: 1³ = 1 2³ = 8 3³ = 27 4³ = 64 5³ = 125 6³ = 216 7³ = 343 8³ = 512 9³ = 729 10³ = 1000 इसलिए: ∛729 = **9** --- # 15. भाज्य संख्या के गुणनखंडों की संख्या यदि **N = pᵃ × qᵇ** तो कुल factors: **(a+1)(b+1)** उदाहरण: 72 = 2³ × 3² Factors की संख्या: (3+1)(2+1) = 4 × 3 = **12** --- ## 🔥 Exam के लिए सबसे महत्वपूर्ण Concepts Number System में इन topics पर विशेष पकड़ बनाइए: 1. संख्या के प्रकार 2. प्राकृतिक, पूर्ण और पूर्णांक 3. परिमेय-अपरिमेय 4. सम-विषम 5. अभाज्य-भाज्य 6. सह-अभाज्य 7. Factors & Multiples 8. Divisibility Rules 9. HCF 10. LCM 11. Remainder 12. Unit Digit 13. Last Two/Three Digits 14. Perfect Square 15. Perfect Cube 16. Number of Factors 17. Sum of Factors 18. Product of Factors 19. Decimal & Fraction 20. Cyclicity/Unit Digit Pattern **CG Vyapam स्तर पर आगे के प्रश्नों में खासकर Remainder, Unit Digit, HCF-LCM और Factors की संख्या वाले सवाल कठिन बनाए जाते हैं।**