हाँ। आपके दिए हुए शिक्षक–गणित भर्ती परीक्षा पाठ्यक्रम में Geometry के अंतर्गत मुख्यतः ये भाग हैं:
रेखा तथा कोण
समतलीय आकृतियाँ
त्रिभुज एवं त्रिभुजों की सर्वांगसमता
चतुर्भुज
ज्यामितीय आकृतियों में समरूपता
वृत्त एवं स्पर्श रेखाएँ
ज्यामितीय रचनाएँ
नीचे इन्हीं के परीक्षा-उपयोगी हिंदी नोट्स दिए हैं।
📐 ज्यामिति (Geometry) – महत्वपूर्ण नोट्स
1. रेखा एवं कोण
रेखा के प्रकार
रेखा – दोनों दिशाओं में अनंत तक जाती है।
रेखाखंड – रेखा का सीमित भाग।
किरण – एक बिंदु से शुरू होकर एक दिशा में अनंत तक जाती है।
कोण के प्रकार
| कोण | माप |
|---|---|
| न्यून कोण | 0° से अधिक और 90° से कम |
| समकोण | 90° |
| अधिक कोण | 90° से अधिक, 180° से कम |
| सरल कोण | 180° |
| प्रतिवर्ती कोण | 180° से अधिक, 360° से कम |
| पूर्ण कोण | 360° |
महत्वपूर्ण तथ्य
एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग = 180°
एक बिंदु के चारों ओर कोणों का योग = 360°
शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं।
पूरक कोणों का योग = 90°
सम्पूरक कोणों का योग = 180°
समानांतर रेखाएँ
दो समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटे तो:
संगत कोण बराबर
एकांतर अंतः कोण बराबर
अंतः कोणों का योग = 180°
2. त्रिभुज
तीन भुजाओं से बनी बंद आकृति को त्रिभुज कहते हैं।
भुजाओं के आधार पर
समबाहु त्रिभुज
तीनों भुजाएँ बराबर।
प्रत्येक कोण = 60°।
समद्विबाहु त्रिभुज
दो भुजाएँ बराबर।
बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर।
विषमबाहु त्रिभुज
तीनों भुजाएँ अलग-अलग।
कोणों के आधार पर
न्यूनकोण त्रिभुज → तीनों कोण 90° से कम
समकोण त्रिभुज → एक कोण 90°
अधिककोण त्रिभुज → एक कोण 90° से अधिक
सबसे महत्वपूर्ण
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°
बाह्य कोण = दो अंतः विपरीत कोणों का योग।
3. त्रिभुज की सर्वांगसमता
जब दो त्रिभुजों का आकार और माप बिल्कुल समान हो, तो वे सर्वांगसम त्रिभुज कहलाते हैं।
सर्वांगसमता की प्रमुख कसौटियाँ
SSS
तीनों संगत भुजाएँ बराबर।
SAS
दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर।
ASA
दो कोण और उनके बीच की भुजा बराबर।
AAS
दो कोण और एक संगत भुजा बराबर।
RHS
समकोण त्रिभुज में:
समकोण
कर्ण
एक भुजा
समान होने पर त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
परीक्षा ट्रिक
SSS, SAS, ASA, AAS, RHS को जरूर याद करें।
4. चतुर्भुज
चार भुजाओं से बनी बंद आकृति = चतुर्भुज
चतुर्भुज के कोणों का योग
360°
समांतर चतुर्भुज
विशेषताएँ:
विपरीत भुजाएँ समानांतर।
विपरीत भुजाएँ बराबर।
विपरीत कोण बराबर।
आसन्न कोणों का योग 180°।
विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
आयत
चारों कोण = 90°
विपरीत भुजाएँ बराबर।
विकर्ण बराबर।
विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
वर्ग
चारों भुजाएँ बराबर।
चारों कोण 90°।
विकर्ण बराबर।
विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं।
विकर्ण कोणों को समद्विभाजित करते हैं।
समचतुर्भुज
चारों भुजाएँ बराबर।
विपरीत कोण बराबर।
विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं।
विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
समलंब चतुर्भुज
जिस चतुर्भुज की एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं।
5. समरूपता (Similarity)
दो आकृतियाँ समरूप कहलाती हैं जब:
उनका आकार समान हो।
संगत कोण बराबर हों।
संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों।
समरूप त्रिभुज
यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर और संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों, तो वे समरूप हैं।
सर्वांगसम और समरूप में अंतर
| सर्वांगसम | समरूप |
|---|---|
| आकार और माप दोनों समान | आकार समान, माप अलग हो सकता है |
| संगत भुजाएँ बराबर | संगत भुजाएँ समान अनुपात में |
| क्षेत्रफल समान | क्षेत्रफल अलग हो सकता है |
6. वृत्त
किसी निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समूह वृत्त कहलाता है।
महत्वपूर्ण शब्द
केंद्र = वृत्त का निश्चित बिंदु
त्रिज्या (r) = केंद्र से वृत्त तक की दूरी
व्यास (d) = केंद्र से होकर जाने वाली जीवा
जीवा = वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड
चाप = वृत्त की परिधि का भाग
परिधि = वृत्त की सीमा
महत्वपूर्ण सूत्र
व्यास
[
d=2r
]
परिधि
[
C=2\pi r
]
क्षेत्रफल
[
A=\pi r^2
]
जहाँ
[
\pi=\frac{22}{7}\quad या\quad 3.14
]
बहुत महत्वपूर्ण तथ्य
वृत्त का सबसे बड़ा जीवा = व्यास
7. स्पर्श रेखा
वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर काटती/छूती है, स्पर्श रेखा कहलाती है।
उस बिंदु को स्पर्श बिंदु कहते हैं।
महत्वपूर्ण प्रमेय
स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंबवत होती है।
अर्थात:
[
OT\perp PT
]
जहाँ O = केंद्र और T = स्पर्श बिंदु।
बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ
एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
8. ज्यामितीय रचनाएँ
परीक्षा में सामान्यतः ये रचनाएँ महत्वपूर्ण हैं:
रेखाखंड का लंब समद्विभाजक बनाना
कोण का समद्विभाजक बनाना
दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना
त्रिभुज की रचना
समबाहु त्रिभुज की रचना
लंब रेखा खींचना
समानांतर रेखा खींचना
याद रखने योग्य
लंब समद्विभाजक पर स्थित प्रत्येक बिंदु रेखाखंड के दोनों सिरों से समान दूरी पर होता है।
⭐ परीक्षा के लिए सबसे महत्वपूर्ण सूत्र
[
\boxed{\text{त्रिभुज के कोणों का योग}=180^\circ}
]
[
\boxed{\text{चतुर्भुज के कोणों का योग}=360^\circ}
]
[
\boxed{\text{वृत्त की परिधि}=2\pi r}
]
[
\boxed{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}=\pi r^2}
]
[
\boxed{\text{व्यास}=2r}
]
[
\boxed{\text{समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण}=60^\circ}
]
आपके इस syllabus के हिसाब से अगला सबसे उपयोगी कदम होगा: Geometry के इन्हीं 7 टॉपिक से 50 कठिन MCQ बनाना—विशेषकर कथन-आधारित, मिलान, क्रम, सर्वांगसमता और प्रमेय वाले प्रश्न।
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